" $\Sigma_1^1$-Peano aritmética ”: ¿precisa $\mathbb{N}$?

Feb 22 2021

Dejar $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ser la teoría en lógica de segundo orden obtenida al extender los axiomas habituales de Peano de primer orden para incluir arbitrarias$\Sigma^1_1$fórmulas en el esquema de inducción. Mi pregunta es:

Lo hace $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ ¿Tiene algún modelo no estándar?

Tenga en cuenta que un modelo de $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ es exactamente un modelo de $\mathsf{PA}$ sin (no trivial propiamente dicho) $\Sigma^1_1$-cortes definibles.

Si reemplazamos $\Sigma^1_1$ con $\Pi^1_1$ La respuesta es inmediatamente negativa, ya que el conjunto de elementos estándar de un modelo de $\mathsf{PA}$ es $\Pi^1_1$. Sin embargo, nada similar parece funcionar para$\Sigma^1_1$ (aunque fácilmente podría estar perdiendo algo obvio).

Una observación rápida es que $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$implica una verdadera aritmética de primer orden . Dada una fórmula de primer orden$\varphi(x)$, dejar $\hat{\varphi}(x)$ ser el $\Sigma^1_1$ fórmula "Hay un corte que contiene $x$ tal que cada elemento del corte satisfaga $\varphi$." Si $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ trivialmente tenemos $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; por inducción sobre la complejidad de$\varphi$ podemos demostrar que si cada número natural estándar satisface $\varphi$ luego $0\in\hat{\varphi}^M$ y consecuentemente $M\models\forall x\varphi(x)$ (que luego da $M\equiv\mathbb{N}$). Sin embargo, no veo cómo usar esto para obtener categoricidad. De hecho, hasta donde yo sé, es posible que, por ejemplo, cada ultrapoder no trivial de$\mathbb{N}$ satisface $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Tenga en cuenta que$\Sigma^1_1$las sentencias se conservan al tomar ultrapoderes; sin embargo, una instancia de inducción para un$\Sigma^1_1$ la fórmula es $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ y $\Pi^1_1$ sentences are not preserved under taking ultrapowers, so this doesn't seem to help.)

Respuestas

5 AndreasBlass Feb 23 2021 at 04:14

If you allow your $\Sigma^1_1$ formulas to have parameters, then PA$_{\Sigma^1_1}$ has only the standard model. To prove it, use the $\Pi^1_1$ definition of standardness to produce a $\Sigma^1_1$ formula $\sigma(x,y)$ saying that $x<y$ and $y-x$ is not standard, i.e., $x$ is infinitely far below $y$. It's easy to show that $\sigma(x,y)$ implies $\sigma(x+1,y)$. So, by $\Sigma^1_1$ induction, if $\sigma(0,y)$ then $\forall x\,\sigma(x,y)$ and, in particular, $\sigma(y,y)$, which is absurd. So $\neg\sigma(0,y)$. But that means $y$ is standard.

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