¿Se pueden caracterizar antichains máximos en términos de retículas distributivas?

Jan 26 2021

Esto se inspira en la pregunta reciente Verificación de un antichain máximo

La célebre dualidad entre posets finitos y redes distributivas finitas tiene varias formulaciones agradables. Uno de ellos asigna a un poset$P$ la celosía $\mathscr D\!P$de sus downdeals (me gusta esta palabra inventada, creo, por Freyd). Una mala suerte de$P$ un subconjunto $D\subseteq P$ satisfactorio $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Se trata de una red distributiva (acotada) con respecto a las operaciones de unión e intersección. A la inversa de una red distributiva finita$L$ uno asigna el poset $\Pi\!L$de sus números primos . Un elemento$p\in L$ es primo si $x\land y=p$ implica $x=p$ o $y=p$, y los números primos se ordenan por divisibilidad: $p\leqslant q$ si $p$ divide $q$, denotado $p|q$ es decir $\exists x\ q=p\land x$, o equivalentemente solo $p\land q=q$. Esto parece una complicación excesiva en el sentido de que invierte el orden heredado de$L$, pero es solo una cuestión de conveniencia: siempre puede cambiar a todo tipo de definiciones equivalentes, como invertir el orden en $P$ o en $L$, reemplazando primos por join-primes, o pasando a complementos de downdeals, que son updeals , o ambos, etc., etc.

La dualidad dice dos cosas. Primero, que cada$L$ puede identificarse con el entramado de downdeals de sus primos, es decir, un elemento $x\in L$ está determinado únicamente por sus divisores principales, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; en otras palabras, cada$x$es el encuentro de sus principales divisores. Además, cada trago malo$D$ de $\Pi\!L$ es $D_x$ por un único $x\in L$, es decir, para $x=\bigwedge D$.

En segundo lugar, la dualidad dice que cada poset $P$ puede identificarse con el conjunto de números primos de $\mathscr D\!P$. A saber,$p\in P$ se identifica con $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ y cada prima de $\mathscr D\!P$ es $\not\uparrow p$ por un único $p\in P$. es más$p\leqslant q$ si $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.

Ahora para un poset finito $P$, sus downdeals están en correspondencia uno a uno con sus antichains: a un downdeal $D$ uno asigna el antichain $\max\!D$ de sus elementos máximos, y a un antichain $\alpha\subseteq P$ lo malo $\downarrow\!\alpha$ de elementos a continuación $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.

Mi pregunta es: ¿se puede caracterizar abstracta, algebraicamente, sin apelar a esta dualidad, esos elementos de una red distributiva finita? $L$que corresponden a los antichains máximos de su poset dual?

Más explícitamente (espero no haber cometido ningún error al traducirlo): ¿hay una caracterización puramente algebraica, sin mencionar los números primos, de esos $a\in L$ con la propiedad que por cualquier prima $p\notin D_a$ hay un primo $p'\in\max D_a$ con $p'|p$?

Para esa pregunta inspirador que en realidad sólo necesitamos considerar libres enrejados distributivos finitos, lo que significa que consideran sólo los Posets$P$que son conjuntos de potencia completos de algún conjunto finito, ordenados por inclusión. No parece que se sepa mucho acerca de la cardinalidad del conjunto de todas las antichains máximas en un conjunto de poder. Según OEIS , la secuencia de estos comienza como$1,2,3,7,29,376,31764,...$

La pregunta Mapa de clase de todos los posets finitos que provienen de antichains de tamaño máximo parece estar muy relacionada, pero uno se refiere a antichains de mayor tamaño posible, mientras que el mío es sobre todos los antichains máximos, es decir, antichains no contenidos en ningún otro antichain. Claramente, tales antichains pueden tener varios tamaños en general, en particular en conjuntos de potencia. Por ejemplo, tanto el antichain de dos elementos$\{\{1\},\{2\}\}$ y el antichain de un elemento $\{\{1,2\}\}$ son antichains máximos en el conjunto de poder de $\{1,2\}$.

Respuestas

მამუკაჯიბლაძე Jan 28 2021 at 02:06

Esta es una descripción (wiki de la comunidad) de una posible respuesta, en lugar de la respuesta en sí. Todos están invitados a intentar convertir esto en una respuesta real. O (obviamente) abandonarlo y escribir la respuesta realmente real.

Richard Stanley explica en un comentario que los antichains máximos $A$ de $P$ están en correspondencia uno a uno con los intervalos booleanos máximos de $\mathscr D\!P$.

En general, dado $D'\subseteq D$ con $D,D'\in\mathscr D\!P$, es fácil ver que el intervalo $[D',D]$ es la celosía isomorfa a $\mathscr D(D\setminus D')$, dónde $D\setminus D'$ es la subposicion de $P$con el orden parcial inducido. Entonces$[D',D]$ es booleano si y solo si $D\setminus D'$ es un antichain.

Por el contrario, cualquier antichain $A\subseteq P$ da lugar a dicho intervalo booleano, con $D=\downarrow\!A$ y $D'=D\setminus A$. Y (¿claramente?) Los antichains máximos corresponden a los intervalos booleanos máximos.

Ahora hay una construcción, que vi por primera vez realizada por Harold Simmons. Por un elemento$a$ en cualquier álgebra de Heyting completa, dejemos $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ Luego $[a,\tau a]$ es el intervalo booleano más grande con la parte inferior $a$.

Claramente en un álgebra de co-Heyting completa hay un operador doblemente definido $\delta$ tal que $[\delta b,b]$ es el intervalo booleano más grande con top $b$.

Ejemplo. En la celosía de conjuntos cerrados de un espacio topológico,$\delta$es el derivado de Cantor-Bendixson. Es decir, para un set cerrado$C$, $\delta C$ es el conjunto de sus puntos límite.

Entonces, si estamos en un álgebra bi-Heyting completa, ambos operadores están disponibles y un intervalo $[a,b]$ es booleano máximo si y solo si $a=\delta b$ y $b=\tau a$.

Esto aparentemente implica que ambos elementos $a$ satisfactorio $\delta\tau a=a$ y elementos $b$ satisfactorio $\tau\delta b=b$debería corresponder de alguna manera a las antichains máximas. Específicamente, en el caso de que nuestra álgebra sea$\mathscr D\!P$ para un poset $P$, luego $\tau\delta D=D$ por $D\in\mathscr D\!P$ debería significar que $\max D$ es un antichain máximo, mientras que $\delta\tau D=D$ debería significar que $\min(P\setminus D)$ es un antichain máximo.

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