Fractales: cómo funciona la teoría del caos

Mar 02 2014
La teoría del caos es la idea de que el universo ordenado y obsequioso que damos por sentado puede ser la excepción a la regla. Aprende más sobre la teoría del caos.
Un diagrama de bifurcación

Si examina detenidamente un diagrama de bifurcación, comenzará a ver patrones interesantes. Por ejemplo, comience con un diagrama completo, como el de la primera imagen.

A continuación, amplíe el primer punto de duplicación. Parece una V lateral redondeada. Ahora observe las V laterales más pequeñas que vienen a continuación en la serie.

Ahora haga zoom de nuevo, digamos, en esa V superior y más pequeña.

Observe cómo esta región del diagrama se parece al original. En otras palabras, la estructura a gran escala de la figura se repite varias veces. Las regiones duplicadas exhiben una cualidad conocida como autosimilitud : las regiones pequeñas se parecen a las grandes. Incluso si observa las áreas caóticas del diagrama (que se encuentran a la derecha), puede encontrar esta cualidad.

La autosimilitud es una propiedad de una clase de objetos geométricos conocidos como fractales . El matemático nacido en Polonia Benoît Mandelbrot acuñó el término en 1975, después de la palabra latina fractus , que significa "roto" o "fragmentado". También resolvió las matemáticas básicas de los objetos y describió sus propiedades. Además de la autosimilitud, los fractales también poseen algo conocido como dimensión fractal , una medida de su complejidad. La dimensión no es un número entero (1, 2, 3) sino una fracción. Por ejemplo, una línea fractal tiene una dimensión entre 1 y 2.

Los comienzos de un copo de nieve de Koch

El copo de nieve de Koch , llamado así por el matemático sueco Helge van Koch, es un ejemplo clásico de fractal. Para derivar la forma, van Koch estableció las siguientes reglas, primero para una línea:

  1. Dividir un segmento de recta en tres partes iguales
  2. Retire un tercio del segmento fuera del medio
  3. Reemplace el segmento medio con dos segmentos de la misma longitud de modo que todos se conecten
  4. Repetir indefinidamente en cada segmento de línea

La segunda imagen muestra cómo se verían las dos primeras iteraciones:

Si comienzas con un triángulo equilátero y repites el procedimiento, terminas con un copo de nieve que tiene un área finita y un perímetro infinito:

Eventualmente terminas con algo como esto.

Hoy, los fractales forman parte de la identidad visual del caos. Como objetos infinitamente complejos que son autosimilares en todas las escalas, representan sistemas dinámicos en todo su esplendor. De hecho, Mandelbrot finalmente demostró que el atractor de Lorenz era un fractal, como lo son la mayoría de los atractores extraños. Y no se limitan a las cavilaciones de los científicos o las representaciones de las computadoras.

Los fractales se encuentran en toda la naturaleza: en las costas, las conchas marinas, los ríos, las nubes, los copos de nieve y la corteza de los árboles. Sin embargo, antes de hacer una excursión, tenga en cuenta que la autosimilitud se comporta de manera un poco diferente en los sistemas naturales. En entornos matemáticos controlados, un objeto con autosimilitud a menudo muestra una repetición exacta de patrones con diferentes aumentos. En la naturaleza, los patrones obedecen a la autosimilitud estadística: no se repiten exactamente, pero partes de ellos muestran las mismas propiedades estadísticas en muchas escalas diferentes.

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