El atractor de Lorenz: un retrato del caos - Cómo funciona la teoría del caos

Mar 02 2014
La teoría del caos es la idea de que el universo ordenado y obsequioso que damos por sentado puede ser la excepción a la regla. Aprende más sobre la teoría del caos.
El modelo meteorológico del meteorólogo Edward Lorenz

El modelo de computadora de Lorenz destiló el comportamiento complejo de la atmósfera de la Tierra en 12 ecuaciones, una simplificación excesiva si alguna vez hubo una. Pero el científico del MIT necesitaba algo aún más simple si esperaba ver mejor los efectos tentadores que vislumbró en su clima simulado. Redujo su problema a una sola condición atmosférica conocida como convección de fluido rodante . La convección ocurre a gran escala cuando el sol calienta el aire cerca de la superficie de la Tierra más rápido que el aire más alto en la atmósfera o sobre cuerpos de agua. Como resultado de este calentamiento desigual, el aire más cálido y liviano sube mientras que el aire más frío y pesado desciende. Esto a su vez crea grandes "rollos" circulares de aire.

La convección también puede ocurrir en escalas más pequeñas: en tazas de café caliente, en recipientes con agua caliente o en cajas rectangulares de metal calentadas desde abajo. Lorenz imaginó este último ejemplo a pequeña escala de convección rodante y se dedicó a derivar las ecuaciones más simples posibles para describir el fenómeno. Se le ocurrió un conjunto de tres ecuaciones no lineales:

  1. dx/dt = σ(yx)
  2. dy/dt = ρx - y - xz
  3. dz/dt = xy - βz

donde σ (sigma) representa la relación entre la viscosidad del fluido y la conductividad térmica, ρ (rho) representa la diferencia de temperatura entre la parte superior e inferior del sistema y β (beta) es la relación entre el ancho y la altura de la caja. Además, hay tres variables que evolucionan en el tiempo: x, que es igual al flujo convectivo; y, que es igual a la distribución horizontal de temperatura; y z, que es igual a la distribución vertical de temperatura.

Las ecuaciones, con solo tres variables, parecían fáciles de resolver. Lorenz eligió valores iniciales (σ = 10, ρ = 28 y β = 8/3) y los introdujo en su computadora, que procedió a calcular cómo cambiarían las variables con el tiempo. Para visualizar los datos, usó cada resultado de tres números como coordenadas en un espacio tridimensional. Lo que dibujó la computadora fue una maravillosa curva con dos espirales superpuestas que se asemejaban a las alas de una mariposa oa la máscara de un búho. La línea que formaba la curva nunca se intersecó a sí misma y nunca volvió sobre su propio camino. En cambio, daba vueltas por siempre y para siempre, a veces pasando tiempo en un ala antes de cambiar al otro lado. Era una imagen del caos, y aunque mostraba aleatoriedad e imprevisibilidad, también mostraba un extraño tipo de orden.

Los científicos ahora se refieren a la imagen misteriosa como el atractor de Lorenz . Un atractor describe un estado al que evoluciona un sistema dinámico después de un tiempo suficientemente largo. Los sistemas que nunca alcanzan este equilibrio, como las alas de mariposa de Lorenz, se conocen como atractores extraños . Desde entonces, se han descubierto atractores extraños adicionales, correspondientes a otros conjuntos de ecuaciones que dan lugar a sistemas caóticos. El atractor de Rössler produce un gráfico que se asemeja a una concha de nautilus. El atractor de Hénon produce un boomerang de aspecto alienígena.

Tan pronto como Lorenz publicó los resultados de su trabajo en 1963, la comunidad científica se dio cuenta. Las imágenes de su extraño atractor comenzaron a aparecer por todas partes, y la gente hablaba, con más que un poco de entusiasmo, sobre esta frontera en desarrollo de la ciencia donde gobernaba el indeterminismo, no el determinismo. Y, sin embargo, la palabra caos aún no había surgido como etiqueta para esta nueva área de estudio. Eso vendría de un matemático de voz suave en la Universidad de Maryland.

La herradura pequeña

Stephen Smale, ganador de la Medalla Fields en 1966, centró su atención en los sistemas dinámicos sin conocer el trabajo de Lorenz. Pero al igual que el meteorólogo del MIT, Smale pudo desarrollar un modelo que hizo posible ver los efectos del caos. Ahora se conoce como la herradura de Smale ., y funciona así: toma un rectángulo hecho de un material flexible y apriétalo en una barra horizontal. Tome un extremo de la barra y, tirando y doblando, forme una herradura. Ahora incrusta la herradura en un segundo rectángulo y repite todo el proceso. A medida que dobla, dobla y estira el material, como un pastelero que trabaja con una bola de masa, es imposible adivinar dónde terminarán dos puntos, uno al lado del otro al principio. Repita el proceso y sus dos puntos de partida terminarán en ubicaciones completamente diferentes cada vez.

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